CD収集の話

久しぶりにCD棚を整理しましたので、それに関する話を。

私の趣味の一つに音楽鑑賞がありますが、実態は「クラシックCD収集」の方が近いかもしれません。何でもダウンロードで購入できる昨今では絶滅危惧種になりつつある趣味ですが、海外のマニアックな音源は販売されないのでCDに頼らざるを得ないのです。

まずは「この作曲家が気に入った。」というところから入ります。そこから同じ作曲家の曲を聴いて、さらに深みへ…となります。

ポップスと違うのは、作曲者が同じでも演奏者が違うという点が挙げられます。最近はカバーという形で別のアーティストが歌う場合もありますが…。

よく聞かれる質問が「演奏者・指揮者が違ったとして、そんなに変わるの?」というものです。これが違うんですねー。

例えば、有名なベートーヴェンの交響曲第5番「運命」の冒頭。じゃじゃじゃじゃーん!じゃじゃじゃじゃーん!という部分です。ここからして既に違います。

指揮者Aはじゃじゃじゃじゃーんじゃじゃじゃじゃーん!とあっさり駆け抜けるかもしれません。

一方、指揮者Bはじゃぁじゃぁじゃぁじゃぁ~~~ぅん!!じゃぁ~じゃぁ~~じゃぁ~~~じゃ~~~~~うぅん!!!とコッテリ演奏するかもしれません。ここを聴き比べるために100枚以上のCDを持っているようなツワモノも珍しくないそうです。

まぁ、私はマニアではないのでショスタコーヴィチ交響曲第5番のCDが40枚ぐらいが最高かなぁ…。 十分マニアックだろ!なんてツッコミは一切受け付けません。 

さて。指揮者によって演奏が違うと書きましたが、実はこれだけではありません。同じ指揮者でも年代が変わると、心境の変化があったのか、新しい考察が生まれたのか?演奏が変わる事があります。昔から現在まで辿っていくと「本当に同じ人の指揮なのか?」と思える事もあります。

さらに難しいのが、指揮者だけでなくオーケストラが違う事があります。これもあまり理解してもらえないのですが、オーケストラが違うと同じ曲なのに音色が違う事があります。分かりやすいのは金管楽器が大爆発しているとか(笑)。

これで終わりかと思うと、さにあらず!年代が同じ、指揮者が同じ、オーケストラが同じ…演奏日が違う!は?

演奏日が違うとホールが違う事があります。そうすると響きが変わります!うーむ…。だんだん理解していただけなくなってきそうです。

年代が同じ、指揮者が同じ、オーケストラが同じ、演奏日は違うがホールが同じ…でも、人間が演奏するので微妙な違いが出る事があります。大体においては、初日より後日の方が慣れてくるのか名演が出やすいと言われています。疲れてやる気がなくなってきてハズレになる場合もありますが(苦笑)。

なので、この演奏は1日収録、この演奏は3日収録…と分けて販売される事もあります。上手く掌で踊らされているような気がしないでもないですが。

演奏者には迷惑な話ですが「あ、ここで大太鼓がミスってるから1982年版だ。」などと語り継がれる事もあります(笑)。

・曲
・指揮者
・オーケストラ
・演奏日
・ホール

これらの組み合わせが多数ある中から自分にピッタリ来る演奏を探し求める旅。なかなかに骨が折れますが、それだけに良い物を見つけると「やった!」という喜びが大きくなるのです。
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地図塗り分け問題(解答編)

平面地図において隣り合う領域は異なる色で塗り分けるようにした時に 少なくとも 何色が必要になるか?【問題の詳細についてはこちら】をご覧ください。



それでは解答です。ご覧になりたい方は下の方にスクロールしてください。






















どれだけ複雑な平面地図(日本地図、世界地図、その他意図的に作った難しい地図…)を用意しても 少なくとも「四色あれば」塗り分けられる が答えです。これは「四色定理」と呼ばれる数学の定理です。

四色定理の証明は物凄く難しいです。考えうる地図が何パターンに分類できるかをコンピュータを活用してリストアップし、それが1,000を超える事が判明しました。これらが四色で塗り分け可能である事を地道に示していき「どのような平面地図も、少なくとも四色あれば塗り分けられる」事を示したのです。

四色定理の証明は、数学史上で初めてコンピュータが活用された例とされています。この説明は私の手に余るので割愛しますが、これだけで終わってしまっては面白くないので「何となく」四色あれば良さそうな気がする…というところまでは理解していただけるように頑張ってみます。

まず、二つの領域が隣り合うようにしてみます。この状況ならば二色が必要になります。

二色で塗り分ける領域の例
(クリックすると、大きい画像を開きます)

三色目が必要になるように新しい領域を追加してみます。

三色目が必要になる領域を追加してみた
(クリックすると、大きい画像を開きます)

さらに外側に四色目が必要になるように新しい領域を追加してみます。

四色目が必要になる領域を追加してみた
(クリックすると、大きい画像を開きます)

このように「新しい領域を追加したら、新しい色が必要になる」…ように思えるのですが

新しく追加した領域は色追加不要でした
(クリックすると、大きい画像を開きます)

次に追加した領域は、三色目に追加した領域とは完全に離れているので三色目と同じ色で塗る事ができます。今回は水色が囲まれるような例ですが、黄色や紫色が囲まれるようにしたとしても同じ事が言える事を確かめてみてください。

このやり方だけでは「どんなやり方をしても、絶対に四色で塗り分けられる!」と主張するには弱いですが、新しい領域が別の領域とは完全に離れているので同じ色で塗る事ができるという考え方は重要です。

実際、少し条件を緩めて 少なくとも五色で塗り分けられると主張した「五色定理」は、この考え方を応用して証明できてしまう のです。コンピュータの助けを借りなくても大丈夫なのです。私も過去に証明のアウトラインを追った事があります。 今は追えるだけの力がなくなってそうです(涙)。 

あらゆる平面地図が四色で塗り分けられるという面白さの紹介と、五色ならば証明できるけれど四色に一色減らすのは大変という事を説明するのが今回の主眼でした。



追記。もう少し意地悪な例を作ってみました。

少し意地悪な例
(クリックすると、大きい画像を開きます)

しかし、このような場合も少し塗り分け方法を変えてやるとやっぱり四色で塗り分けられるのでした。

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地図塗り分け問題(問題編)

どうも最近は鉄道ブログのような記事しか書いておりませんでした(ん?)。【以前に記事にした「切り欠いたチェス盤にドミノを並べる問題」】を書いているうちに思い付いた問題です。

前回の問題とは分野が違うのですが(前回は「組み合わせ問題」、今回は「平面埋め込み問題」)、似たような問題は関連付けて考えたり覚えた方が知識が繋がって記憶に定着しやすいものです。珍しく真面目な発言です。

チェス盤にドミノを並べた状態を考えます。

ドミノを並べたチェス盤
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この並べたドミノについて、隣り合うドミノ同士が同じ色にならないように塗り分ける事を考えます。

隣り合うドミノが同じ色にならないように塗り分けた例
(クリックすると、大きい画像を開きます)

適当に塗り分けてみましたが、黄色・ピンク・水色・紫色の四色で塗り分ける事ができました。

さて、ここで問題です。同じように日本の都道府県の白地図、アメリカ合衆国の州の白地図、世界地図…など、色々な平面地図を考えた時に、 少なくとも 何色があれば塗り分けられるでしょうか?今回の例は簡単でしたが、もっと複雑な地図ならば五色、六色、ヘタするともっと多数の色が必要かもしれません。

実はこの一見簡単に見える問題ですが、数学的証明はメチャクチャ難しい問題です。従ってエイヤで答えていただければと思います。

正解はこちら】。

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チェス盤にドミノを敷き詰めるパズル(解答編)

軽いパズルです。【まずは問題を読んでいただいた方がよろしい】かと思います。

切り欠いたチェス盤に、適当にドミノを並べてみると?
(クリックすると、大きい画像を開きます)

チェス盤(8×8マス)から右上と左下を切り欠き、適当にドミノ(1×2、または2×1)を並べてみると、右下4マス(元々白が3マス(赤く着色)、黒1マス)を並べる事ができませんでしたが…?

いや、これは適当に並べたのが悪かった!戦略をもう少し考えてやれば並べる事が可能なのではないか…?



それでは解答です。ご覧になりたい方は下の方にスクロールしてください。






















本文では適当に並べた場合を示しましたが、他のやり方を一つ一つ全て試していっても(あまりにも数が多すぎて挫折すると思いますが…その辺りの「指数爆発」については【以前に説明した量子コンピュータの記事をご覧ください】)「絶対に」ドミノで埋める事はできないのです。

それは何故か?本文の適当に並べた結果、残りマスがどうなっているかを見る事で答えが見えてきます。

チェス盤とドミノの性質を考えてみましょう。1個のドミノを置いた時、チェス盤の黒マスと白マスを一度に覆う事が可能です。逆に言いますと、1個のドミノで白マスを2マス、または黒マスを2マス同時に覆う事は絶対にできないのです。

8×8マスのチェス盤の時は黒が32マスで白が32マス。【問題編でも示した通り、この場合はドミノで埋め尽くす事が可能】です。

しかし、右上と左下を切り欠いたチェス盤だとどうか?黒が30マスで白が32マス…すなわち、どれだけ戦略的に並べていっても黒マスが先に埋まってしまい、最後に白マスが2マス残ってしまうのです。

ドミノの性質から白マスを同時に埋める事は不可能。すなわち右上と左下を切り欠いたチェス盤をドミノで埋め尽くす事は不可能という結論が得られるのです。

あらゆる場合を試そうとすると挫折するけれど、上手く工夫すれば一瞬で「不可能」と分かる。(本質は少し違うのですが)【P≠NPではなくP=NPかもしれない…と思わせる事例】と言えるでしょう。



このチェス盤を見ていて、【別の問題解説用に流用できるな…と思い付き】ました。

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チェス盤にドミノを敷き詰めるパズル(問題編)

たまには軽いパズルでも。

8×8マスのチェス盤を考えてみましょう。

8×8マスのチェス盤
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このチェス盤に1×2のドミノを敷き詰めてみます。横向きにして2×1にしても良いとします。

8×8マスのチェス盤に、1×2のドミノを置いてみる
(クリックすると、大きい画像を開きます)

下図は敷き詰めた一例です。

ドミノで埋め尽くしたチェス盤
(クリックすると、大きい画像を開きます)

さて、次に右上と左下を切り欠いたチェス盤を考えてみましょう。

右下と左上を切り欠いてみると?
(クリックすると、大きい画像を開きます)

ここで問題です。右上と左下を切り欠いたチェス盤をドミノで埋め尽くす事は可能でしょうか?可能な場合はその方法を、不可能な場合はその理由を答えてください。

正解はこちら】。

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